数论笔记（不断更新）

A

有一组给定的序列，构造一个数，使这个序列关于这个数的模有且仅有两个数。

结论：所求答案为：

\[ ans = 2(a_2-a_1,a_3-a_2,\dots,a_n-a_{n-1}) \]

证明：

首先可以证明

\[ a_i \equiv a_j \pmod {(a_2-a_1,a_3-a_2,\dots,a_n-a_{n-1})}(\forall{i,j \in[1,n]}) \]

设模值为 \(G= (a_2-a_1,a_3-a_2,\dots,a_n-a_{n-1})\)，并设

\[ a_i=p_iG+x \tag{A.1} \]

考察 \(p_i\) 的奇偶性，以下 \(t\) 为整数。若为奇数，便有

\[ a_i=(2t+1)G+x \rightarrow a_i \equiv G+x \pmod{2G} \]

若为偶数，则有

\[ a_i=(2t)G+x \rightarrow a_i \equiv x \pmod{2G} \]

下面证明任意序列 \(p_i\) 必然不关于2同余。这是因为若关于2同余，那么对任意 \(i,j \in [1,n]\)，

\[ (p_i-p_j)|2 \]

利用\((1)\)立得

\[ a_i - a_j=(p_i-p_j)G \rightarrow a_i - a_j\equiv 0 \pmod{2G} \]

与所设 \(G\) 矛盾，命题得证。\(\square\)