拓扑空间

前言

本篇笔记遵循从特殊到一般的叙述方式，从 $ \mathbb R $ 上的通常拓扑引出一般的拓扑空间的概念.

$ \mathbb R $ 上的通常拓扑

为了研究 $ \mathbb R $ 上的通常拓扑，我们先研究开区间和闭区间.

我们已经熟知，开区间是 $U:=\{x:a<x<b\}$ ，闭区间是 $V:=\{x:a\leq x \leq b\}$ .其中 $a,b \in \mathbb R $ ，也可以取到无穷.下面给出一个与分析中邻域概念雷同的，且在拓扑中常用的定义

定义1：若 $x\in \mathbb R ,\epsilon > 0$ ，则以 $x$ 为圆心， $\epsilon$ 为半径的开球为
$B(x,\epsilon):=\{y\in \mathbb R :|y-x|<\epsilon\} \tag1$

开球与邻域是相同的.

接下来考察开区间的性质

论断1： $U$ 为一个开区间和以下论述等价： $\forall x \in U,\exists\epsilon>0,B(x,\epsilon)\subset U$ .

证明：

充分性：不失一般性，假设开区间 $U:=(a,b)$ 两端都是实数，对于任给的 $x$ 只需取 $\epsilon=\min(|a-x|,|b-x|)$ 即可满足论述.

必要性：显然.

两端存在无穷的情况考虑无穷的极大性即可得证.

接下来，我们从开区间中抽象出开集的概念

定义2：若 $U\subset \mathbb R $，则称 $U$ 是 $ \mathbb R $ 上的开集，当 $U$ 满足 $\forall x \in U,\exists\epsilon>0,B(x,\epsilon)\subset U$ 时.

注意，开区间是开集的真子集，例如不交开区间的并就不是开区间，但它是开集.

为了引出闭集的概念，我们先引入与分析中极限雷同的极限点概念

定义3：若 $A\subset \mathbb R $，称 $x\in \mathbb R $ 为 $A$ 的一个极限点，当存在数列 $\{a_n\} \subset A$ ， $\lim_{\infty}a_n=x$ .

引理1：若 $A\subset \mathbb R $，则 $x\in \mathbb R $ 为 $A$ 的一个极限点当且仅当 $\forall \epsilon>0,\exists a\in A,|a-x|<\epsilon$ .

这是分析中已经熟知的.

下面，我们引出闭区间的重要性质

论断2：闭区间包含所有的极限点.

证明：

我们假设存在 $x \notin U$ 是闭区间 $U := [a,b]$ 的极限点。考虑对于右端点，存在数列 $\{a_n\} \subset U$ ， $\lim_{\infty}a_n=x$ ，但是我们只要取 $\epsilon$ 为一个比 $x$ 和 $b$ 的距离小的数，就必然有一个 $a_i \in [k,x]$ ，这里 $k>b$ ， $\epsilon=x-k$ .这就引出了矛盾.左端点的证明是类似的.

我们根据这条性质抽象出闭集的概念

定义4：若 $V \in \mathbb R $，我们称 $V$ 为闭集当 $V$ 包含它的所有极限点.

类似地，闭区间是闭集的真子集.

下面我们证明本节的最重要的成果

定理1：设 $U\in \mathbb R $ 为闭集，则 $ \mathbb R - U$ 为开集.反之亦然.

在证明前，我们必须明确一个概念：集合不一定有开、闭的性质，也就是说非开不一定是闭集，非闭不一定是开集.左开右闭区间就是显而易见的例子.

证明：

我们先设 $U$ 为开集，需证 $V= \mathbb R - U$ 为闭集.用反证法，假设 $V$ 不是闭集，那么 $V$ 不包含它的所有极限点，设该极限点为 $x\in U$ ，考虑数列 $\{a_n\}\in V$ 的极限，根据开集的定义，存在一个以该点为圆心的开球完全被 $U$ 包含，因此该开球的半径外的数列各值不能以比半径更小的距离 $\epsilon$ 逼近该极限点，也就是说必须存在一个或以上的 $a_i$ 在该开球中，这与假设矛盾.

另一方面，我们设 $V$ 为闭集，需证 $U= \mathbb R - V$ 为开集，用反证法，假设 $U$ 不是开集，则存在一个点 $x$ ，它的任意小的开球 $B(x,\epsilon)$ 不完全被 $U$ 包含.我们设 $y \in B(x,\epsilon) \cap U$ ，那么我们构造一个数列 $\{a_n\}\subset V$ ，只要取 $\epsilon$ 为足够小的值，在这里不失一般性取为 $\frac{1}{n}$ ，让每一项满足 $a_n\in B(y,1/n) \cap V$ ，这样 $a_n$ 就能以任意大小逼近 $y$ ，那么 $y$ 就是 $V$ 的一个极限点，必然是 $V$ 的元素，这与假设矛盾.

这条定理说明开集和闭集是互补的，开集的补集是闭集.

现在我们来研究开集和闭集的性质.

定理2（开集的性质）：

空集和 $ \mathbb R $ 是开集.

任意开集的并是开集.

有限开集的交是开集.

证明：

性质1是显然的.

对于性质2，我们设并集为 $U_0$ ，考虑任意元素 $x\in U_0$ ，它至少属于一个开集 $U$ ，即有对任意开球 $B(x,\epsilon)$ ，都有 $B(x,\epsilon)\in U \subset U_0$ .

对于性质3，设大小为 $n$ 的开集族 ${U_i}$ 的交集为 $U_0$ ，对任意 $x\in U_0$ ，取 $\epsilon = \min_{i \in I}(\epsilon_i:B(x,\epsilon_i) \subset U_i)$ ，就有 $\forall i \in [1,n],B(x,\epsilon)\subset B(x,\epsilon_i)\subset U_i$ ，这就完成了证明.

注意性质3必须要是有限个开集的交.因为确界原理：无限个数的最小值无法确定.

例如：区间套

U_i=(\frac1i,\frac{1}{i+1})

根据区间套原理，这个开集族交集是 $\{0\}$ ，显然不是开集.

根据对偶性，不难得出以下闭集的性质

定理3：

空集和 $ \mathbb R $ 是闭集.

有限闭集的并是闭集.

任意闭集的交是开集.

证明：

性质1是显然的.

对于性质2，考虑定理2的性质3，有限闭集的并就是它们补集的交的补集.

性质3同理.

为了熟悉拓扑的语言，我们引入闭包

定义5： $A$ 的闭包是一个包含 $A$ 的所有极限点（闭包点）的集合，记作 $\overline A = cl(A)$ .

形式化地

定义5’：
$\overline A = \{x\in \mathbb R:\forall\epsilon>0,\exists a\in A,|x-a|<\epsilon\}=\{x\in \mathbb R:\forall\epsilon>0,B(x,\epsilon) \cap A \neq \emptyset\} \tag2$

由此，很自然地我们想替换闭集的语言

引理2： $V$ 是 $ \mathbb R $ 的闭子集当且仅当 $V= \overline V$ .

不证.

接下来我们就可以刻画 $\mathbb R$ 上的通常拓扑形态

定义6：设 $A \subset \mathbb R$ ，我们有

$A$ 的内部

$\operatorname{Int}(A) = \{x \in \mathbb R :\exists \epsilon >0,B(x,\epsilon) \subset A \}=\{x \in \mathbb R :\exists \epsilon >0,B(x,\epsilon) \cap \mathbb R -A =\emptyset \} \tag3$

$A$ 的外部

$\operatorname{Ext}(A)=\{x \in \mathbb R :\exists \epsilon >0,B(x,\epsilon) \subset \mathbb R -A \}=\{x \in \mathbb R :\exists \epsilon >0,B(x,\epsilon) \cap A =\emptyset \} \tag4$

$A$ 的边界

$\partial A = \mathbb R-\operatorname{Int}(A)-\operatorname{Ext}(A) \tag5$

这样我们就能刻画一个拓扑的内、外、边界了.

现在我们来讨论这三个部分之间的关系.下面的证明基本上都是上面定义的集合意义上的轱辘话，需要熟悉集合的语言.

引理3： $\operatorname{Int}(A) \cap \operatorname{Ext}(A)=\emptyset$ .

证明： $\forall x\in \operatorname{Int}(A),y\in \operatorname{Ext}(A),\exists \epsilon_1>0,\epsilon_2>0,B(x,\epsilon_1) \subset A,B(x,\epsilon_2)\subset A^{C}$ .

引理4： $\operatorname{Int}(A)= \operatorname{Ext}(A^{C})$ .

证明：将定义中的 $A$ 替换为 $A^C$ 即可.

由此我们可以引出下面的基本性质

引理5：

$\operatorname{Int}(A) \subset A$ .

$\operatorname{Ext}(A) \cap A = \emptyset$ .

$\operatorname{Int}(A),\operatorname{Ext}(A)$ 都是开的.

$A \cup \partial A=\operatorname{Int}(A) \sqcup \partial A$ 是闭的.

证明：

考虑 $(2)$ 中的开球一定是 $A$ 的子集即可得证.
对于原式稍作调整即证 $\operatorname{Ext}(A) \subset A^C$ .结合第一条以及引理4得证.
根据引理4，只需证内部是开的.我们任取 $x \in \operatorname{Int}(A), \epsilon >0$ ，使得以 $x$ 为圆心， $\epsilon$ 为半径的开球是 $A$ 的子集.那么我们再任取 $y \in B(x,\epsilon)$ ，根据定义，它必须是 $A$ 的内部的元素.取 $\epsilon' = \epsilon - |x-y|$ ，容易得到
$\forall z \in B(y,\epsilon'),|x-z|=|x-y+(y-z)|<|x-y|+|y-z|<\epsilon'+|x-y|=\epsilon$
（利用三角不等式），也就是 $B(y,\epsilon') \subset B(x,\epsilon) \subset \operatorname{Int}(A)$ .考虑 $x$ 可以取遍 $A$ 的内部，任意开集的并是开集，这就证明了 $\operatorname{Int}(A)$ 是开集.
先证等号.根据第一条显然有左包含右，现证右包含左.只需证 $A \subset \operatorname{Int}(A) \sqcup \partial A$ .即证 $A \cap \operatorname{Ext}(A) = \emptyset$ ，根据第二条得证.再证闭集，考虑到第三条有 $A$ 的外部是开集，根据开集闭集的互补性质立即得证.

根据上面的性质，我们就有了以下非常重要的性质

定理4：

$A$ 是开的当且仅当 $A= \operatorname{Int}(A)$ .

$\overline A=A\cup \partial A$ .

$A$ 是闭的当且仅当 $\partial A \subset A$ .

证明：

根据引理5第一条以及开集的定义得证.
注意到右端就是 $\operatorname{Ext}(A)^C$ ，即 $\forall x\in A\cup \partial A,\forall \epsilon >0,B(x,\epsilon) \cap A \neq\emptyset $，与 $(2)$ 一致.
利用第二条得证.

下面我们利用闭包和内部来衡量开集和闭集的大小

定理5： $\operatorname{Int}(A)$ 是 $A$ 的子开集中最大的开集， $\overline A$ 是包含了 $A$ 的闭集中最大的闭集.

证明：首先证明第一点.我们设 $U \subset \operatorname{Int}(A)$ 是开集，就显然有 $\operatorname{Int}(U) \subset U \subset\operatorname{Int}(A)$ .再证明第二点，设 $A \subset V$ ， $V$ 是闭集，则 $\overline A \subset \overline V \subset V$ .

将来的拓扑空间中将会将这条定理作为公理.

我们还有两条对称的性质

论断3：设 $A\subset R$ ，

$(\operatorname{Int}(A))^C=\overline {(A^C)} \tag6$

$\overline A^C =\operatorname{Int}(A^C) \tag{6'}$

证明：注意到这两条是互补的，只证 $(6)$ .注意到 $\partial A = \partial A^C$ ，利用定理4的第2条及引理5的第4条即可得证.

$ \mathbb R $ 上的连续映射

本篇将会用拓扑的语言重新描述连续映射.首先回忆连续映射的定义

定义7： $f: \mathbb R \to \mathbb R$ 被称为连续映射，当且仅当满足以下条件
$\forall x,y\in \mathbb R,\epsilon > 0,\exists \delta>0,|x-y|< \delta\Rightarrow |f(x)-f(y)| < \epsilon \tag{7}$
亦即
$\forall x,y\in \mathbb R,\epsilon > 0,\exists \delta>0,y\in B(x,\delta) \Rightarrow f(y) \in B(f(x),\epsilon) \Leftrightarrow f( B(x,\delta)) \subset B(f(x),\epsilon)\tag{7'}$

这是已经熟知的概念.我们考虑利用闭集与开集来重新描述这个定义.

如何描述？注意到开闭集的等价定义中包含极限点，而连续映射的等价定义也有极限点，我们可以猜测

定理6： $f: \mathbb R \to \mathbb R$ 被称为连续映射，当且仅当对于 $\mathbb R$ 中任意开集 $U$ ，都有 $f^{-1}(U)$ 也是开集.（开集的原像是开集）

证明：

充分性：假设 $f$ 是一个连续映射，且 $U$ 是一个开集，则对于 $x \in f ^{-1}(U)$ 有 $f(x) \in U$ ，即存在 $\epsilon> 0$ 使得 $B(f(x),\epsilon) \subset U$ ，我们利用 $(7')$ ，找到一个 $\epsilon>0$ ，使得 $f( B(x,\delta)) \subset B(f(x),\epsilon)\subset U$ 并对映射求逆即可.

必要性：设 $f$ 满足开集的原像是开集.设 $\epsilon >0$ ， $f^{-1}(B(f(x),\epsilon))$ 是开集，并且注意到 $x$ 在 $B(f(x),\epsilon)$ 的原像中，这就满足了 $(7')$ .

于是我们定义同胚映射

定义8：我们称 $f$ 是一个 $\mathbb R \to \mathbb R$ 的同胚映射，当且仅当

$f$ 是双射

$f$ 是连续映射

$f^{-1}$ 是连续映射

特殊地，在 $\mathbb R$ 上，后两条可以推出第一条，但在一般的拓扑空间不行.

度量空间

这是一个过渡篇，从欧式度量引出的拓扑到通常拓扑的过渡.

我们定义度量

定义9：设 $X$ 是一个非空集合，则映射 $d:X \times X \to \mathbb R$ 被称为一个度量当且仅当它满足下列条件

正定性： $\forall x, y\in X, d(x,y) \geq 0$ ，特别地， $d(x,y)=0 \Leftrightarrow x=y$ .

对称性： $\forall x, y\in X, d(x,y)=d(y,x)$ .

三角不等式： $\forall x, y, z\in X, d(x,y) + d(y,z) \geq d(x,z)$ .

进一步地，我们称 $(X,d)$ 为一个度量空间

度量有很多具体的例子，如最常见的 $\mathbb R^2$ 上的模长就是一个度量.

上述 $\mathbb R$ 上的通常拓扑是通过 $d(x,y)=|x-y|$ 引出的拓扑.

根据 $\mathbb R$ 上的通常拓扑的内容，我们容易得出通常度量空间上的开集闭集的定义，这里不再赘述.需要另提一嘴的是连续映射，因为这里可以有不同度量空间之间的映射

定义10：设 $(X,d),(Y,d')$ 是两个度量空间，则 $f:X \to Y$ 是一个连续映射当且仅当
$\forall x \in X,\epsilon>0, y \in X,\exists \delta>0,d(x,y) <\delta \Rightarrow d'(f(x),f(y))<\epsilon \tag{8}$

与 $\mathbb R$ 中完全相同地，可以证明开集的原像是开集是连续映射的充要条件.

最后，我们再给出如下定义

定义11：设 $(X,d)$ 是一个度量空间， $x\in X, A,B \subset X$ ，则定义如下内容

$A$ 的直径：记作 $\operatorname{diam}(A)$ ，定义为 $\sup _{x \in A, y\in A} d(x,y)$ .

$x$ 和 $A$ 的距离： $d(x,A)= \inf_{y\in A}d(x,y)$ .

$A$ 和 $B$ 的距离： $d(A,B) = \inf_{x\in A,y \in B}d(x,y)$ .

我们有如下论断

论断4： $d(x,A) \leq d(x,y) + d(y,A)$ ，其中 $A \subset X,x,y \in X$ .

不证.

拓扑空间

终于来到本章的主题了.

我们再次回顾 $\mathbb R$ 上的开集定义，其中有三个重要的名词：集合，开球，包含.

开球如何定义？必须存在度量才能定义，然而，一般的集合不一定存在度量，更严密地说，大部分的集合不存在度量.

我们自然想让所有的集合可以定义它的”开集“，使得”开集“不依赖（由度量空间所定义的）开球，而是只依赖集合的语言定义.

于是我们回顾定理2，它只用集合的语言描述了开集的性质，我们便希望用这个性质来定义开集，从而避开具体的度量空间.像这样将集合 $U$ 划分出开集和闭集的行为，便可以称作 $U$ 的拓扑.

定义12：令 $X$ 是一个非空集合，则我们称 $\tau \sub \mathbf P(X) $ 是 $X$ 上的一个拓扑，当它满足如下性质

$\emptyset,X \sub \tau$

$\tau$ 中的任意集合的并还在 $\tau$ 中

$\tau$ 中的有限集合的交还在 $\tau$ 中

并且，我们称 $(X, \tau)$ 是一个拓扑空间，在不引起歧义的前提下， $(X, \tau)$ 可以简称为 $X$ .

同时，若对于 $V\sub X$ 满足 $\exists U \sub \tau,V=X-U$ , 则称 $V$ 为闭集，闭集与开集的情况恰好相反.

那么 $\mathbb R$ 上的通常拓扑 $\tau$ 就是

U\sub \tau \Leftrightarrow \forall x \in U,\exists\epsilon>0,B(x,\epsilon)\subset U

其中 $B$ 是由度量 $d(x,y)=|x-y|$ 定义的开球.

给出两种最简单的拓扑

定义13：设 $X$ 非空

称 $\tau = \{\emptyset,X\}$ 为 $X$ 上的平凡拓扑

称 $\tau = \mathbf P(X)$ 为 $X$ 上的离散拓扑.

不难验证上述 $\tau$ 都是拓扑.

平凡拓扑不能由度量空间导出，而离散拓扑可以由离散度量 $d(x,y)=[x\neq y]$ 导出.证明留在附录给出.

和在 $\R $ 上的工作类似，我们去刻画一般的拓扑空间的形态.

定义13：设 $A \sub X$

称 $A$ 的内部 $\operatorname{Int}(A)$ 为 $A$ 中最大的开集，亦即 $A$ 中所有开集的并

称 $A$ 的闭包 $\overline{A}$ 为包含 $A$ 的最小的闭集，亦即包含 $A$ 的所有闭集的交.

引理6：

$A$ 是开集 $\Leftrightarrow$ $A=\operatorname{Int}(A)$ $\Leftrightarrow$ $A \subset \operatorname{Int}(A)$

$A$ 是闭集 $\Leftrightarrow$ $A=\overline{A}$ $\Leftrightarrow$ $\overline{A} \subset A$

证明：

只证第一条.第二条可以由开闭集的互补性得出.

必要性显然.充分性根据 $A$ 的内部的极大性（ $A$ 中没有比 $A$ 更大的开集）可以立刻得出.

论断5：设 $A \subset X$

$(\operatorname{Int}(A))^C=\overline {(A^C)} \tag9$

$\overline A^C =\operatorname{Int}(A^C) \tag{9'}$

证明：

只证第一条.第二条可以由开闭集的互补性得出.

再次利用内部的极大性和闭包的极小性， $\operatorname{Int}(A)$ 是一个包含于 $A$ 的开集，因此 $(\operatorname{Int}(A))^C$ 是一个包含了 $A^C$ 的闭集，从而根据闭包的极小性可以得到左包含右.

同理， $\overline {(A^C)}$ 是一个包含了 $A^C$ 的最小的闭集，从而 $\overline {(A^C)}^C$ 是一个包含于 $A$ 的开集，根据内部的极大性可得右包含左，于是论断得证.

定义14：设 $x\in X$ ，则称 $U$ 是 $x$ 的邻域，当 $x\in U$ 且 $U$ 为开集时.

定义15：设 $A \subset X$

称 $x$ 是 $A$ 的内点，当 $x$ 存在一个包含于 $A$ 的邻域

称 $x$ 是 $A$ 的极限点，当 $x$ 的所有邻域都与 $A$ 在除了 $x$ 的外的点有交

称 $x$ 是 $A$ 的闭包点，当 $x$ 的所有邻域都与 $A$ 有交.

不难发现闭包点的定义比极限点更广.

引理7：设 $A \subset X$ ，则 $x$ 是 $A$ 的闭包点，当且仅当 $x \in A$ 或 $x$ 是 $A$ 的极限点.

证明：